Si analizza il paesaggio energetico dell'anello autogravitante (Self-Gravitating Ring, SGR), un modello semplificato di sistema con interazioni gravitazionali dove le particelle interagenti sono vincolate su di una circonferenza. Prima di tutto applichiamo un criterio recentemente proposto, basato sulle propriet? geometriche dei punti stazionari (selle) dell'energia potenziale, che ci permette di mettere in evidenza analiticamente la transizione (gi? nota numericamente) tra la fase omogenea e quella clusterizzata. Quindi mostriamo come il criterio suggerisca la presenza di una seconda transizione di fase non precedentemente nota. L'effettiva esistenza o meno di tale transizione ? ancora un problema aperto. Infine mostriamo come sia possibile ottenere una approssimazione quantitativa della termodinamica del modello SGR attraverso uno sviluppo in punti stazionari dell'entropia simile, nello spirito, al formalismo termodinamico di Stillinger e Weber dove per? si tenga conto di selle con indice arbitrario.