In questo lavoro si affronta, in un grafo random con connettivita` media finita, il problema dell'esistenza di sottografi q-regolari (ovvero sottografi con connettivita` fissata uguale a q) estensivamente grandi. Questo problema risulta essere computazionalmente "duro". Il problema viene riformulato in termini di soddisfacimento di vincoli, e risolto utilizzando il metodo delle cavita`. Per q=3, si trova che il primo sottografo estensivo appare in maniera discontinua ad una connettivita` media 3.3546 e contiene immediatamente circa il 24% dei nodi del grafo. Questa transizione e` estremamante vicina alla ben nota transizione di percolazione del 3-core, ma distinta da quest'ultima, che avviene ad una connettivita` 3.3509. Per q>3, la soglia di percolazione dei grafi q-regolari risulta invece coincidente con quella del q-core.